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湘教课标版高中数学选修（理科）·多知道一点
用二阶导数判断极值
教学设计
成都市第二十中学校 邓冬华
一、教材分析
《用二阶导数判断极值》是湘教课标版高中数学选修（理科）（年8月第1版）“多知道一点”的内容，它位于教材第四章第三节第二小节《函数的极大值和极小值》之后，属于拓展性内容。
《用二阶导数判断极值》是在学生学习了利用导数研究函数的单调性和极值之后，利用导数工具研究函数性质的又一实例，在其余版本的教材中没有这部分内容，但二阶导数在高考中（如函数的“凹凸性”等）及用导数研究函数的过程中（如“二次求导”等）经常用到，所以有必要补充这一内容。这不仅有助于学生进一步认识和理解导数的工具性作用，还有助于借助二阶导数更快更好地解决有关函数问题。
函数极值的定义为判断可导函数极值提供了方法，即先求一阶导数为零的根（驻点），再判断导函数在驻点附近的符号（正负）是否发生变化。如果导函数在驻点附近的符号（正负）不发生变化，则驻点不是极值点；如果导函数在驻点附近的符号（正负）发生变化，则驻点是极值点。判断导函数在驻点附近的符号（正负）是否发生变化，一般是采用列表或者画导函数图象的方法，但列表的过程比较繁琐，有时导函数的图象不容易画出。二阶导数为解决这类问题提供了新的视角，即抓住二阶导数的正负与一阶导数单调性之间的关系，直接判断在导函数零点处的单调性，从而判断极值情况。用二阶导数判断极值与用定义判断极值在原理上一致，利于学生理解和掌握。
从联系初等数学与高等数学的角度看，用二阶导数判断极值起着承上启下的作用。在高等数学中，利用二阶导数判断函数极值有三个充分条件，利用极值的定义是第一充分条件，本节内容是第二充分条件。在现行教材中，略去了“连续”及“极限”理论，本节课涉及到的很多细节问题，需要学生到高校后进一步学习研究，本课没有细究，只留了一道选做题供学有余力的学生课后思考。
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