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5.4 几个著名的不等式复习课件
[考情分析]由于柯西不等式是用综合法证明不等式的重要依据，因此柯西不等式的考查常出现在用综合法证明含有幂，根式的和、积、商的不等式中．高考一般在选考题中考查．
专题一 利用柯西不等式证明不等式
[高考冲浪]1．(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求证：ac＋bd≤8.
证明：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．∵a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，∴(ac＋bd)2≤64.∴ac＋bd≤8.
2．(2014·福建卷)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值．(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.(1)解：∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，∴f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又∵p，q，r是正实数，∴(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.
[考情分析]柯西不等式是除平均值不等式外求解含多个变量式子最值的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．高考一般在选考题中考查．
专题二 利用柯西不等式求最值
2．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为__________.解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥ (a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36.∴a2＋4b2＋9c2≥12.故a2＋4b2＋9c2的最小值为12.答案：12
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